עקסטראַקטינג די וואָרצל פון אַ קאָמפּלעקס נומער

אין דעם אויסגאבע וועלן מיר קוקן ווי אַזוי איר קענען נעמען די וואָרצל פון אַ קאָמפּלעקס נומער, און אויך ווי דאָס קען העלפן אין סאַלווינג קוואַדראַטיק יקווייזשאַנז וועמענס דיסקרימינאַנט איז ווייניקער ווי נול.

עקסטראַקטינג די וואָרצל פון אַ קאָמפּלעקס נומער

קוואַדראַט וואָרצל

ווי מיר וויסן, עס איז אוממעגלעך צו נעמען די וואָרצל פון אַ נעגאַטיוו פאַקטיש נומער. אבער ווען עס קומט צו קאָמפּלעקס נומערן, דעם קאַמף קענען זיין געטאן. זאל ס פיגור עס אויס.

זאל ס זאָגן מיר האָבן אַ נומער ז = -9. פֿאַר √-9 עס זענען צוויי וואָרצל:

z₁ = √-9 = -3י

z₁ = √-9 = 3i

זאל אונדז קאָנטראָלירן די באקומען רעזולטאַטן דורך סאַלווינג די יקווייזשאַן z² =-9, ניט פארגעסן אַז i² =-1:

(-3י)² = (-קסנומקס)² ⋅ איך² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3 י)² = 3² ⋅ איך² = 9 ⋅ (-1) = -9

אזוי, מיר האָבן פּרוווד אַז -3 י и 3i זענען וואָרצל √-9.

דער וואָרצל פון אַ נעגאַטיוו נומער איז יוזשאַוואַלי געשריבן ווי דאָס:

√-1 = ± איך

√-4 = ± 2i

√-9 = ± 3i

√-קסנומקס = ± 4i אאז"ו ו

וואָרצל צו דער מאַכט פון נ

רעכן מיר זענען געגעבן יקווייזשאַנז פון די פאָרעם ז = ⁿ√w… עס האט n וואָרצל (z₀, אָדער₁, אָדער₂,…, ז_n-1), וואָס קענען זיין קאַלקיאַלייטיד מיט די פאָרמולע אונטן:

|וו| איז דער מאָדולע פון ​​אַ קאָמפּלעקס נומער w;

φ — זײן טענה

k איז אַ פּאַראַמעטער וואָס נעמט די וואַלועס: ק = {0, 1, 2,..., n-1}.

קוואַדראַטיק יקווייזשאַנז מיט קאָמפּלעקס רוץ

עקסטראַקטינג די וואָרצל פון אַ נעגאַטיוו נומער ענדערונגען די געוויינטלעך געדאַנק פון uXNUMXbuXNUMXb. אויב דער דיסקרימינאַנט (D) איז ווייניקער ווי נול, עס קענען נישט זיין פאַקטיש וואָרצל, אָבער זיי קענען זיין רעפּריזענטיד ווי קאָמפּלעקס נומערן.

בייַשפּיל

זאל ס סאָלווע די יקווייזשאַן x² – 8x + 20 = 0.

באַשייד

אַ = 1, ב = -8, c = 20

ד = ב² – 4אַק = 64 – 80 = -16

ד < 0, אָבער מיר קענען נאָך נעמען די וואָרצל פון די נעגאַטיוו דיסקרימינאַנט:

√D = √-קסנומקס = ± 4i

איצט מיר קענען רעכענען די רוץ:

x_1,2 = (-ב ± √D)/2אַ = (8 ± 4 י) / 2 = 4 ± 2י.

דעריבער, די יקווייזשאַן x² – 8x + 20 = 0 האט צוויי קאָמפּלעקס קאָנדזשוגאַטע רוץ:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2י